[线性代数] 第1章 向量空间

Posted on Thu, Jun 30, 2022 📖Note Math Linear Algebra

1 向量空间

1.A Rn\mathbf{R}^n与Cn\mathbf{C}^n

复数

假定 -1 有平方根，记为 i\text{i}，并且遵循通常的算术法则.

1.1 定义 复数（complex number）

可以把 R\mathbf{R} 看作 C\mathbf{C} 的一个子集. i2=−1\text{i}^2=-1.

1.2 例 计算 (2+3i)(4+5i)(2+3\text{i})(4+5\text{i}).

解

(2+3i)(4+5i)=2⋅4+2⋅(5i)+(3i)⋅4+(3i)(5i)=8+10i+12i−15=−7+22i\begin{aligned} (2+3\text{i})(4+5\text{i}) &= 2\cdot4+2\cdot(5\text{i})+(3\text{i})\cdot4+(3\text{i})(5\text{i}) \\ &=8+10\text{i}+12\text{i}-15 \\ &=-7+22\text{i} \end{aligned}

1.3 复数的算术性质

1.4 例 证明 αβ=βα\alpha\beta=\beta\alpha 对所有 α,β∈C\alpha,\beta\in\mathbf{C} 成立.

证明 假设 α=a+bi\alpha=a+b\text{i}，β=c+di\beta=c+d\text{i}，其中 a,b,c,d∈Ra,b,c,d\in\mathbf{R}. 那么，复数乘法的定义表明

αβ=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned} \alpha\beta&=(a+b\text{i})(c+d\text{i}) \\ &=(ac-bd)+(ad+bc)\text{i} \end{aligned}

并且

βα=(c+di)(a+bi)=(ca−db)+(cb+da)i.\begin{aligned} \beta\alpha&=(c+d\text{i})(a+b\text{i})\\ &=(ca-db)+(cb+da)\text{i}. \end{aligned}

上面这两组等式和实数的加法与乘法的交换性表明 αβ=βα\alpha\beta=\beta\alpha.

1.5 定义 −α-\alpha，减法（subtraction）、1/α1/\alpha，除法（division）

设 α,β∈C\alpha,\beta\in\mathbf{C}.

1.6 记号 F\mathbf{F}

在本书中 F\mathbf{F} 总是表示 R\mathbf{R} 或 C\mathbf{C}.

选用字母 F\mathbf{F} 是因为 R\mathbf{R} 和 C\mathbf{C} 都是所谓域（field）的例子.

F\mathbf{F} 中的元素称为标量（scalar）.

对 α∈F\alpha\in\mathbf{F} 及正整数 mm，我们把 αm\alpha^m 定义为 mm 个 α\alpha 的乘积：

αm=α⋯ ⋯α⏟m个\alpha^m=\underbrace{\alpha\cdots\,\cdots\alpha}_{m个}

显然，对所有 α,β∈F\alpha,\beta\in\mathbf{F} 及正整数 m,nm,n 都有 (αm)n=αmn(\alpha^m)^n=\alpha^{mn} 和 (αβ)m=αmβm(\alpha\beta)^m=\alpha^m\beta^m.

组

1.7 例 R2\mathbf{R}^2 和 R3\mathbf{R}^3

1.8 定义 组（list）、长度（length）

设 nn 是非负整数，长度为 nn 的组是 nn 个有顺序的元素，这些元素用逗号隔开并且两端用括弧括起来（这些元素可以是数、其他组或者更抽象的东西）. 长度为 nn 的组具有如下形式：

(x1,…,xn).(x_1,\dots,x_n).

两个组相等当且仅当它们长度相等、所含的元素相同并且元素的顺序也相同.

于是，长度为 2 的组是有序对（pair），而长度为 3 的组是有序三元组（triple）.

很多数学家称长度为 nn 的组为 nn 元组（n-tuple）.

根据定义，每个组的长度都是有限的，这个长度是一个非负整数. 因此，形如

(x1,x2,… )(x_1,x_2,\dots)

的对象不是组.

长度为 0 的组形如 ()().

组与集合有两点不同：组中的元素是有顺序的并且允许重复，而对于集合来说，顺序和重复都无关紧要.

1.9 例 组与集合

Fn\mathbf{F}^n

1.10 定义 Fn\mathbf{F}^n

Fn\mathbf{F}^n 是 F\mathbf{F} 中元素组成的长度为 nn 的组的集合：

Fn={(x1,…,xn):xj∈F, j=1,…,n}.\mathbf{F}^n=\{(x_1,\dots,x_n):x_j\in\mathbf{F},\,j=1,\dots,n\}.

对于 (x1,…,xn)∈Fn(x_1,\dots,x_n)\in\mathbf{F}^n 以及 j∈{1,…,n}j\in\{1,\dots,n\}，称 xjx_j 是 (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n) 的第 jj 个坐标.

1.11 例 C4\mathbf{C}^4 是所有含 44 个复数的组所构成的集合：

C4={(z1,z2,z3,z4):z1,z2,z3,z4∈C}.\mathbf{C}^4=\{(z_1,z_2,z_3,z_4):z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbf{C}\}.

C1\mathbf{C}^1 可以看成一个平面.

1.12 定义 Fn\mathbf{F}^n 中的加法（addition in Fn\mathbf{F}^n）

Fn\mathbf{F}^n 中的加法定义为对应坐标相加：

(x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn).(x_1,\dots,x_n)+(y_1,\dots,y_n)=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n).

1.13 Fn\mathbf{F}^n 中的加法交换性

若 x,y∈Fnx,y\in\mathbf{F}^n，则 x+y=y+xx+y=y+x.

证明 假设 x=(x1,…,xn),  y=(y1,…,yn)x=(x_1,\dots,x_n),\;y=(y_1,\dots,y_n). 则

x+y=(x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn)=(y1+x1,…,yn+xn)=(y1,…,yn)+(x1,…,xn)=y+x.\begin{aligned} x+y&=(x_1,\dots,x_n)+(y_1,\dots,y_n) \\ &=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n) \\ &=(y_1+x_1,\dots,y_n+x_n) \\ &=(y_1,\dots,y_n) + (x_1,\dots,x_n) \\ &=y+x. \end{aligned}

其中第二个与第四个等式成立是由于 Fn\mathbf{F}^n 中加法的定义，第三个等式成立是由于 F\mathbf{F} 中加法的通常的交换性.

1.14 定义 00

用 00 表示长度为 nn 且所有坐标都是 0 的组：

0=(0,…,0).0=(0,\dots,0).

1.15 例 考虑陈述：00 是 Fn\mathbf{F}^n 的加法单位元，如果对于 x∈Fnx\in\mathbf{F}^n 都有

x+0=x.x+0=x.

上面的 00 是数 0 还是组 00？

解 这里 00 是一个组，因为我们从未定义过 Fn\mathbf{F}^n 中元素（即 xx）与数 0 的和.

R2\mathbf{R}^2 中的典型元素是点 x=(x1,x2)x=(x_1,x_2). 也可以看作一个始于原点终于 (x1,x2)(x_1,x_2) 的箭头，如右图所示. xx 被看作一个箭头时，称为向量（vector）.

当把 R2\mathbf{R}^2 中的向量看作箭头时，我们可以把箭头平行移动（不改变它的长度和方向），并视其为同一向量. 在这样的观点下，省去坐标轴和具体的坐标而只考虑向量往往能帮助我们获得更好的理解，如右图所示.

假设我们要把 R2\mathbf{R}^2 中的两个向量 xx 和 yy 加起来. 如右图所示，把向量 yy 平行移动使其始点与向量 xx 的终点重合，那么，和 x+yx+y 就是以 xx 的始点为始点，以 yy 的终点为终点的向量.

1.16 定义 Fn\mathbf{F}^n 中的加法逆元（additive inverse in Fn\mathbf{F}^n）

对于 x∈Fnx\in\mathbf{F}^n，xx 的加法逆元（记作 −x-x）就是满足下面条件的向量 −x∈Fn-x\in\mathbf{F}^n：

x+(−x)=0.x+(-x)=0.

换言之，若 x=(x1,…,xn)x=(x_1,\dots,x_n)，则 −x=(−x1,…,−xn)-x=(-x_1,\dots,-x_n).

对于向量 x∈R2x\in\mathbf{R}^2，加法逆元 −x-x 就是与 xx 平行、长度相等但方向相反的向量，如右图所示.

1.17 定义 Fn\mathbf{F}^n 中的标量乘法（scalar multiplication in Fn\mathbf{F}^n）

一个数 λ\lambda 与 Fn\mathbf{F}^n 中的一个向量的乘积这样来计算：用 λ\lambda 乘向量的每个坐标，即

λ(x1,…,xn)=(λx1,…,λxn),\lambda(x_1,\dots,x_n)=(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n),

其中 λ∈F\lambda\in\mathbf{F}，(x1,…,xn)∈Fn(x_1,\dots,x_n)\in\mathbf{F}^n.

R2\mathbf{R}^2 中的标量乘法有很好的几何解释. 如果 λ\lambda 是正数，xx 是 R2\mathbf{R}^2 中的向量，则向量 λx\lambda x 的方向与 xx 相同，而其长度为 xx 长度的 λ\lambda 倍. 如果 λ\lambda 是负数，xx 是 R2\mathbf{R}^2 中的向量，则向量 λx\lambda x 的方向与 xx 相反，而其长度为 xx 长度的 ∣λ∣|\lambda| 倍，如右图所示.

关于域的题外话

一个域是一个集合，至少包含有两个分别称为 00 和 11 的不同元素，并带有加法和乘法运算，而且这些运算满足 1.3 中列出的所有性质. 因此，R\mathbf{R} 和 C\mathbf{C} 都是域，有理数集合连同通常的加法和乘法运算也是域. 域的另一个例子是集合 {0,1}\{0,1\}，带有通常的加法和乘法运算，但规定 1+11+1 等于 00.

1.B 向量空间的定义

1.18 定义 加法（addition）、标量乘法（scalar multiplication）

1.19 定义 向量空间（vector space）

向量空间就是带有加法和标量乘法的集合 VV，满足如下性质：

1.20 定义 向量（vector）、点（point）

向量空间中的元素称为向量或点.

向量空间的标量乘法依赖于 F\mathbf{F}. 因此，在需要确切指明时，我们会说 VV 是 F\mathbf{F} 上的向量空间.

1.21 定义 实向量空间（real vector space）、复向量空间（complex vector space）

最简单的向量空间只含有一个点，即 {0}\{0\} 是向量空间.

1.22 例 定义 F∞\mathbf{F}^\infin 为 F\mathbf{F} 中元素的所有无穷序列构成的集合：

F∞={(x1,x2,… ):xj∈F,  j=1,2,… }.\mathbf{F}^\infin=\{(x_1,x_2,\dots):x_j\in\mathbf{F},\;j=1,2,\dots\}.

F∞\mathbf{F}^\infin 中加法和标量乘法的定义也和我们所料想的一样：

(x1,x2,… )+(y1,y2,… )=(x1+y1,x2+y2,… )λ(x1,x2,… )=(λx1,λx2,… ).(x_1,x_2,\dots)+(y_1,y_2,\dots)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots) \\ \lambda(x_1,x_2,\dots)=(\lambda x_1,\lambda x_2, \dots).

在此定义下 F∞\mathbf{F}^\infin 成为 F\mathbf{F} 上的向量空间，其加法单位元是每个元素都为 0 的无穷序列.

1.23 记号 FS\mathbf{F}^S

如果 SS 是区间 [0,1][0,1] 且 F=R\mathbf{F}=\mathbf{R}，那么 R[0,1]\mathbf{R}^{[0,1]} 就是定义在区间 [0,1][0,1] 上的所有实值函数的集合.

1.24 例 FS\mathbf{F}^S 是向量空间

前面的向量空间的两个例子 Fn\mathbf{F}^n 和 F∞\mathbf{F}^\infin 都是 FS\mathbf{F}^S 的特例，因为 F\mathbf{F} 上长度为 nn 的组可以看作是 {1,2,…,n}\{1,2,\dots,n\} 到 F\mathbf{F} 的函数，而 F\mathbf{F} 中元素的无穷序列可以看作是正整数集到 F\mathbf{F} 的函数. 也就是说，我们可将 Fn\mathbf{F}^n 看作是 F{1,2,…,n}\mathbf{F}^{\{1,2,\dots,n\}}，将 F∞\mathbf{F}^\infin 看作是 F{1,2,… }\mathbf{F}^{\{1,2,\dots\}}.

先来给出向量空间的一些基本性质.

1.25 加法单位元唯一

向量空间有唯一的加法单位元.

证明 设 00 和 0′0' 都是向量空间 VV 的加法单位元，则

0′=0′+0=0+0′=0,0'=0'+0=0+0'=0,

其中第一个等式成立是因为 00 是加法单位元，第二个等式成立是因为加法交换性，第三个等式成立是因为 0′0' 是加法单位元. 因此 0=0′0=0'，这就证明了 VV 中只有一个加法单位元.

1.26 加法逆元唯一

向量空间中的每个元素都有唯一的加法逆元.

证明 设 VV 是向量空间，v∈Vv\in V，并设 ww 和 w′w' 都是 vv 的加法逆元，那么

w=w+0=w+(v+w′)=(w+v)+w′=0+w′=w′.w=w+0=w+(v+w')=(w+v)+w'=0+w'=w'.

因此 w=w′w=w'.

1.27 记号 −v-v、w−vw-v

设 v,w∈Vv,w\in V，则

1.28 记号 VV

在本书的其余部分，总设 VV 是 F\mathbf{F} 上的向量空间.

1.29 数 0 乘以向量

对任意 v∈Vv\in V 都有 0v=00v=0.

证明 对 v∈Vv\in V，我们有

0v=(0+0)v=0v+0v.0v=(0+0)v=0v+0v.

在上面等式的两端都加上 0v0v 的加法逆元，可得 0=0v0=0v.

1.30 数乘以向量 00

对任意 a∈Fa\in \mathbf{F} 都有 a0=0a0=0.

证明 对 a∈Fa\in\mathbf{F}，我们有

a0=a(0+0)=a0+a0.a0=a(0+0)=a0+a0.

在上面等式的两端都加上 a0a0 的加法逆元，可得 0=a00=a0.

1.31 数 -1 乘以向量

对任意 v∈Vv\in V 都有 (−1)v=−v(-1)v=-v.

证明 对 v∈Vv\in V，我们有

v+(−1)v=1v+(−1)v=(1+(−1))v=0v=0.v+(-1)v=1v+(-1)v=(1+(-1))v=0v=0.

这个等式说明，(−1)v(-1)v 与 vv 相加得 00. 因此 (−1)v(-1)v 必为 vv 的加法逆元.

1.C 子空间

1.32 定义 子空间（subspace）

如果 VV 的子集 UU（采用与 VV 相同的加法和标量乘法）也是向量空间，则称 UU 是 VV 的子空间.

1.33 例 {(x1,x2,0):x1,x2∈F}\{(x_1,x_2,0):x_1,x_2\in\mathbf{F}\} 是 F3\mathbf{F}^3 的子空间.

有些数学家采用线性子空间这个术语，意思与子空间一样.

1.34 子空间的条件

VV 的子集 UU 是 VV 的子空间当且仅当 UU 满足以下三个条件：

证明 若 UU 是 VV 的子空间，则由向量空间的定义，UU 满足上述三个条件.

反之，假定 UU 满足上述三个条件，那么第一个条件保证了 VV 的加法单位元在 UU 中.

第二个条件保证了加法在 UU 上是有意义的. 第三个条件保证了标量乘法在 UU 上是有意义的.

若 u∈Uu\in U，则由上述的第三个条件知 −u-u（由 1.31 知其等于 (−1)u(-1)u）也在 UU 中. 因此 UU 的每个元素在 UU 中都有加法逆元.

向量空间定义中的其余部分（例如结合性和交换性）在 UU 上自然成立，因为它们在更大的空间 VV 上成立. 所以 UU 是一个向量空间，从而是 VV 的子空间.

上述关于加法单位元的条件可以替换为条件“UU 非空”（因为此时取 u∈Uu\in U，用数 0 乘 uu，利用 UU 在标量乘法下封闭可得到 0∈U0\in U）. 然而，若 UU 的确是 VV 的子空间，则证明 UU 非空的最简单的方法还是证明 0∈U0\in U.

1.35 例 子空间

(a) 若 b∈Fb\in \mathbf{F}，则 {(x1,x2,x3,x4)∈F4:x3=5x4+b}\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbf{F}^4:x_3=5x_4+b\} 是 F4\mathbf{F}^4 的子空间当且仅当 b=0b=0.

(b) 区间 [0,1][0,1] 上的全体实值连续函数的集合是 R[0,1]\mathbf{R}^{[0,1]} 的子空间.

(c) R\mathbf{R} 上的全体实值可微函数的集合是 RR\mathbf{R}^\mathbf{R} 的子空间.

(d) 区间 (0,3)(0,3) 上满足条件 f′(2)=bf'(2)=b 的实值可微函数的集合是 R(0,3)\mathbf{R}^{(0,3)} 的子空间当且仅当 b=0b=0.

(e) 极限为 0 的复数序列组成的集合是 C∞\mathbf{C}^\infin 的子空间.

R2\mathbf{R}^2 的子空间恰为 {0}\{0\}、R2\mathbf{R}^2 以及 R2\mathbf{R}^2 中所有过原点的直线. R3\mathbf{R}^3 的子空间恰为 {0}\{0\}、R3\mathbf{R}^3、R3\mathbf{R}^3 中所有过原点的直线以及 R3\mathbf{R}^3 中所有过原点的平面.

子空间的和

1.36 定义 子集的和（sum of subsets）

设 U1,…,UmU_1,\dots,U_m 都是 VV 的子集，则 U1,…,UmU_1,\dots,U_m 的和定义为 U1,…,UmU_1,\dots,U_m 中元素所有可能的和所构成的集合，记作 U1+⋯+UmU_1+\cdots+U_m. 更确切地说，

U1+⋯+Um={u1+⋯+um:u1∈U1,…,um∈Um}.U_1+\cdots+U_m=\{u_1+\cdots+u_m:u_1\in U_1,\dots,u_m\in U_m\}.

1.37 例 设 UU 是 F3\mathbf{F}^3 中第二个和第三个坐标均为 0 的那些元素构成的集合，WW 是 F3\mathbf{F}^3 中第一个和第三个坐标均为 0 的那些元素构成的集合：

U={(x,0,0)∈F3:x∈F},W={(0,y,0)∈F3:y∈F}.U+W={(x,y,0):x,y∈F}.U=\{(x,0,0)\in\mathbf{F}^3:x\in\mathbf{F}\},\quad W=\{(0,y,0)\in\mathbf{F}^3:y\in\mathbf{F}\}. \\ U+W=\{(x,y,0):x,y\in\mathbf{F}\}.

1.38 例 设

U={(x,x,y,y)∈F4:x,y∈F},W={(x,x,x,y)∈F4:s,y∈F}.U+W={(x,x,y,z)∈F4:x,y,z∈F}.U=\{(x,x,y,y)\in\mathbf{F}^4:x,y\in\mathbf{F}\},\quad W=\{(x,x,x,y)\in\mathbf{F}^4:s,y\in\mathbf{F}\}. \\ U+W=\{(x,x,y,z)\in\mathbf{F}^4:x,y,z\in\mathbf{F}\}.

1.39 子空间的和是包含这些子空间的最小子空间

设 U1,…,UmU_1,\dots,U_m 都是 VV 的子空间，则 U1+⋯+UmU_1+\cdots+U_m 是 VV 的包含 U1,…,UmU_1,\dots,U_m 的最小子空间.

证明 容易看出 0∈U1+⋯+Um0\in U_1+\cdots+U_m，并且 U1+⋯+UmU_1+\cdots+U_m 在加法和标量乘法下是封闭的. 因此，1.34 意味着 U1+⋯+UmU_1+\cdots+U_m 是 VV 的子空间.

显然 U1,…,UmU_1,\dots,U_m 都包含于 U1+⋯+UmU_1+\cdots+U_m（为说明这一点，考虑和 u1+⋯+umu_1+\cdots+u_m，其中除一项之外的其余项均为 0）. 反之，VV 中任何包含 U1,…,UmU_1,\dots,U_m 的子空间一定都包含 U1+⋯+UmU_1+\cdots+U_m（因为子空间包含其中所有元素的所有有限和）. 于是，U1+⋯+UmU_1+\cdots+U_m 是 VV 中包含 U1,…,UmU_1,\dots,U_m 的最小的子空间.

在向量空间理论中，子空间的和类似于集合论中子集的并. 给定一个向量空间的两个子空间，包含它们的最小子空间是它们的和. 类似地，给定一个集合的两个子集，包含它们的最小子集是它们的并集.

直和

1.40 定义 直和（direct sum）

设 U1,…,UmU_1,\dots,U_m 都是 VV 的子空间.

1.41 例 设 UU 是 F3\mathbf{F}^3 中最后一个坐标为 0 的那些向量组成的子空间，WW 是 F3\mathbf{F}^3 中前两个坐标为 0 的那些向量组成的子空间：

U={(x,y,0)∈F3:x,y∈F},W={(0,0,z)∈F3:z∈F}.F3=U⊕W.U=\{(x,y,0)\in\mathbf{F}^3:x,y\in\mathbf{F}\},\quad W=\{(0,0,z)\in\mathbf{F}^3:z\in\mathbf{F}\}. \\ \mathbf{F}^3=U\oplus W.

1.42 例 设 UjU_j 是 Fn\mathbf{F}^n 中除第 jj 个坐标以外其余坐标全是 0 的那些向量所组成的子空间（例如，U2={(0,x,0,…,0)∈Fn:x∈F}U_2=\{(0,x,0,\dots,0)\in\mathbf{F}^n:x\in\mathbf{F}\}）. Fn=U1⊕⋯⊕Un\mathbf{F}^n=U_1\oplus\cdots\oplus U_n.

1.43 例 设

U1={(x,y,0)∈F3:x,y∈F},U2={(0,0,z)∈F3:z∈F},U3={(0,y,y)∈F3:y∈F}.\begin{aligned} U_1&=\{(x,y,0)\in\mathbf{F}^3:x,y\in\mathbf{F}\}, \\ U_2&=\{(0,0,z)\in\mathbf{F}^3:z\in\mathbf{F}\}, \\ U_3&=\{(0,y,y)\in\mathbf{F}^3:y\in\mathbf{F}\}. \end{aligned}

证明 U1+U2+U3U_1+U_2+U_3 不是直和.

证明 显然 F3=U1+U2+U3\mathbf{F}^3=U_1+U_2+U_3，这是因为每个向量 (x,y,z)∈F3(x,y,z)\in\mathbf{F}^3 都可以写成

(x,y,z)=(x,y,0)+(0,0,z)+(0,0,0),(x,y,z)=(x,y,0)+(0,0,z)+(0,0,0),

右端第一个向量属于 U1U_1，第二个向量属于 U2U_2，第三个向量属于 U3U_3.

然而 F3\mathbf{F}^3 不是 U1,U2,U3U_1,U_2,U_3 的直和，这是因为向量 (0,0,0)(0,0,0) 能用两种不同方式写成和 u1+u2+u3u_1+u_2+u_3 使得每个 uju_j 属于 UjU_j. 具体来说，我们有

(0,0,0)=(0,1,0)+(0,0,1)+(0,−1,−1),(0,0,0)=(0,1,0)+(0,0,1)+(0,-1,-1),

当然也有

(0,0,0)=(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0),(0,0,0)=(0,0,0)+(0,0,0)+(0,0,0),

其中每个等式右端的第一个向量属于 U1U_1，第二个向量属于 U2U_2，第三个向量属于 U3U_3.

1.44 直和的条件

设 U1,…,UmU_1,\dots,U_m 都是 VV 的子空间. “U1+⋯+UmU_1+\cdots+U_m 是直和”当且仅当“00 表示成 u1+⋯+umu_1+\cdots+u_m（其中每个 uj∈Uju_j\in U_j）的唯一方式是每个 uju_j 都等于 0”.

证明 首先假设 U1+⋯+UmU_1+\cdots+U_m 是直和. 那么直和的定义表明：如果 0=u1+⋯+um0=u_1+\cdots+u_m（其中每个 uj∈Uju_j\in U_j），则必有每个 uju_j 都等于0.

现在假设：如果 0=u1+⋯+um0=u_1+\cdots+u_m（其中每个 uj∈Uju_j\in U_j），则每个 uju_j 都等于0. 为了证明 U1+⋯+UmU_1+\cdots+U_m 是直和，设 v∈U1+⋯+Umv\in U_1+\cdots+U_m. 把 vv 写成

v=u1+⋯+umv=u_1+\cdots+u_m

其中 u1∈U1,…,um∈Umu_1\in U_1,\dots,u_m\in U_m. 为证明这个表示法唯一，假设还有一个表示

v=v1+⋯+vm,v=v_1+\cdots+v_m,

其中 v1∈U1,…,vm∈Umv_1\in U_1,\dots,v_m\in U_m. 两式相减，我们有

0=(u1−v1)+⋯+(um−vm).0=(u_1-v_1)+\cdots+(u_m-v_m).

由于 u1−v1∈U1,…,um−vm∈Umu_1-v_1\in U_1,\dots,u_m-v_m\in U_m，上式表明每个 uj−vju_j-v_j 都等于 0. 于是，u1=v1,…,um=vmu_1=v_1,\dots,u_m=v_m.

1.45 两个子空间的直和

设 UU 和 WW 都是 VV 的子空间，则 U+WU+W 是直和当且仅当 U∩W={0}U\cap W = \{0\}.

证明 首先假设 U+WU+W 是直和. 若 v∈U∩Wv\in U\cap W，则 0=v+(−v)0=v+(-v)，其中 v∈U, −v∈Wv\in U,\, -v\in W. 由于 0 可唯一地表示成 UU 中向量与 VV 中向量的和，我们有 v=0v=0. 于是 U∩W={0}U\cap W = \{0\}，这就证明了定理的一个方面.

另一方面，假设 U∩W={0}U\cap W=\{0\}. 为证明 U+WU+W 是直和，假设 u∈U, w∈W, 0=u+wu\in U,\,w\in W,\, 0=u+w. 为完成证明，只需证明 u=w=0u=w=0（由于 1.44）. 由上面的等式可得 u=−w∈Wu=-w\in W. 于是 u∈U∩Wu\in U\cap W. 因此 u=0u=0，由此及上面的等式可得 w=0w=0，这就完成了证明.

子空间的和类似于子集的并. 同样，子空间的直和类似于子集的不交并. 任意两个子空间都相交，因为它们都包含 00. 因此要用交为 {0}\{0\} 代替不相交，至少在两个子空间的情形如此.

上面的结果只考虑了两个子空间的情形，在考虑多于两个的子空间的和是否为直和时，只验证任意两个子空间的交为 {0}\{0\} 是不够的. 为了看出这一点，考虑例 1.43，在那个非直和的例子中，我们有 U1∩U2=U1∩U3=U2∩U3={0}U_1\cap U_2=U_1\cap U_3=U_2\cap U_3=\{0\}.