2.1 记号 $\mathbf{F}$、$V$

2.2 记号 向量组（list of vectors）

我们表示向量组时，通常不用括号括起来.

2.3 定义 线性组合（linear combination）

$V$ 中的一组向量 $v_1,\dots,v_m$ 的线性组合是指形如

的向量，其中 $a_1,\dots,a_m\in \mathbf{F}$.

2.4 例 在 $\mathbf{F}^3$ 中，

2.5 定义 张成空间（span）

$V$ 中一组向量 $v_1,\dots,v_m$ 的所有线性组合所构成的集合称为 $v_1,\dots,v_m$ 的张成空间，记为

$\text{span}(v_1,\dots,v_m)$. 也就是说，

空向量组 $()$ 的张成空间定义为 $\{0\}$.

2.6 例 前面的例子表明在 $\mathbf{F}^3$ 中，

有些数学家采用术语线性张成空间，意思与张成空间一样.

2.7 张成空间是包含这组向量的最小子空间

$V$ 中一组向量的张成空间是包含这组向量的最小子空间.

证明 设 $v_1,\dots,v_m$ 是 $V$ 中的一组向量.

先证明 $\text{span}(v_1,\dots,v_m)$ 是 $V$ 的子空间. 加法单位元属于 $\text{span}(v_1,\dots,v_m)$，因为

其次，$\text{span}(v_1,\dots,v_m)$ 在加法下封闭，因为

再次，$\text{span}(v_1,\dots,v_m)$ 在标量乘法下封闭，因为

于是 $\text{span}(v_1,\dots,v_m)$ 是 $V$ 的子空间（由于 1.34）.

每个 $v_j$ 都是 $v_1,\dots,v_m$ 的线性组合（为了证明这一点，在 2.3 中令 $a_j=1$ 并令其他 $a$ 都等于 0）. 于是 $\text{span}(v_1,\dots,v_m)$ 包含每一个 $v_j$. 反之，由于子空间对加法和标量乘法都封闭，从而 $V$ 的包含所有 $v_j$ 的子空间必定都包含 $\text{span}(v_1,\dots,v_m)$. 因此 $\text{span}(v_1,\dots,v_m)$ 是 $V$ 的包含所有向量 $v_1,\dots,v_m$ 的最小子空间.

2.8 定义 张成（spans）

若 $\text{span}(v_1,\dots,v_m)$ 等于 $V$，则称 $v_1,\dots,v_m$ 张成 $V$.

2.9 例 设 $n$ 是正整数. 证明

张成 $\mathbf{F}^n$. 上面向量组中的第 $j$ 个向量是第 $j$ 个元素为 1 其余元素均为 0 的 $n$ 元组.

证明 设 $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbf{F}^n$. 则

于是 $(x_1,\dots,x_n)\in\text{span}\big((1,0,\dots,0),(0,1,0,\dots,0),\dots,(0,\dots,0,1)\big)$.

2.10 定义 有限维向量空间（finite-dimensional vector space）

如果一个向量空间可以由该空间的某个向量组张成，则称这个向量空间是有限维的.

上面的例 2.9 表明对任意正整数 $n$，$\mathbf{F}^n$ 是有限维向量空间.

2.11 定义 多项式（polynomial），$\mathcal{P}(\mathbf{F})$

在通常的（多项式）加法和标量乘法下，$\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 是 $\mathbf{F}$ 上的向量空间. 也就是说，$\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 是 $\mathbf{F}^\mathbf{F}$（$\mathbf{F}$ 到 $\mathbf{F}$ 的全体函数构成的向量空间）的子空间.

一个多项式的系数由该多项式唯一确定. 因此，下面定义的多项式的次数是唯一确定的.

2.12 定义 多项式的次数（degree of a polynomial），$\text{deg}\,p$

在下面的定义中，我们约定 $-\infin<m$，这意味着恒等于 0 的多项式属于 $\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$.

2.13 定义 $\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$

对于非负整数 $m$，用 $\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$ 表示系数在 $\mathbf{F}$ 中且次数不超过 $m$ 的所有多项式构成的集合.

要验证下面的例子，只需注意到 $\mathcal{P}_m(\mathbf{F})=\text{span}(1,z,\dots,z^m)$. 此处我们用 $z^k$ 表示函数.

2.14 例 对每个非负整数 $m$，$\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$ 是有限维向量空间.

2.15 定义 无限维向量空间（infinite-dimensional vector space）

一个向量空间如果不是有限维的，则称为无限维的.

2.16 例 证明 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 是无限维的.

证明 考虑 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 中任意一组元素. 记 $m$ 为这组多项式的最高次数. 则这个组的张成空间中的每个多项式的次数最多为 $m$. 因此 $z^{m+1}$ 不属于这个组的张成空间. 从而没有组能够张成 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$. 所以 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 是无限维的.

设 $v_1,\dots,v_m\in V$ 且 $v\in\text{span}(v_1,\dots,v_m)$. 由张成空间的定义，有 $a_1,\dots,a_m\in\mathbf{F}$ 使得

考虑上式中标量选取的唯一性问题. 假设 $c_1,\dots,c_m$ 是另一组标量也使得

两式相减得

于是我们把 $0$ 写成了 $v_1,\dots,v_m$ 的线性组合. 如果 $0$ 只能用显然的方式（每个标量都取零）写成 $v_1,\dots,v_m$ 的线性组合，则每个 $a_j-c_j$ 都等于 0，即每个 $a_j$ 都等于 $c_j$（因此标量的取法确实是唯一的）. 这种情况很重要，所以我们给它起一个特殊的名字——线性无关.

2.17 定义 线性无关（linearly independent）

上一段的推导表明，$v_1,\dots,v_m$ 是线性无关的当且仅当 $\text{span}(v_1,\dots,v_m)$ 中每个向量都可以唯一地表示成 $v_1,\dots,v_m$ 的线性组合.

2.18 例 线性无关组

(a) $V$ 中一个向量 $v$ 构成的向量组 $v$ 是线性无关的当且仅当 $v\ne0$.

(b) $V$ 中两个向量构成的向量组线性无关当且仅当每个向量都不能写成另一个向量的标量倍.

(c) $\mathbf{F}^4$ 中的组 $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)$ 线性无关.

(d) 对每个非负整数 $m$，$\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 中的组 $1,z,\dots,z^m$ 线性无关.

一个线性无关组中去掉一些向量后，余下的向量构成的向量组仍然线性无关.

2.19 定义 线性相关（linear dependent）

2.20 例 线性相关组